Física/Cinemática/Aceleración

La aceleración es la magnitud física que mide la tasa de variación de la velocidad respecto del tiempo. Las unidades para expresar la aceleración serán unidades de velocidad divididas por las unidades de tiempo (en unidades del Sistema Internacional generalmente).

No debe confundirse la velocidad con la aceleración, pues son conceptos distintos, acelerar no significa ir más rápido, sino cambiar de velocidad.

Se define la aceleración media como la relación entre la variación o cambio de velocidad de un móvil y el tiempo empleado en dicho cambio:

$a={\frac {v-v_{0}}{t-t_{0}}}={\frac {\Delta v}{\Delta t}}$

Donde a es aceleración, y v la velocidad final en el instante t, $v_{0}$ la velocidad inicial en el instante t₀.

Aceleración instantánea.

La aceleración instantánea, que para trayectorias curvas se toma como un vector, es la derivada de la velocidad (instantánea) respecto del tiempo en un instante dado (en dos instantes cercanos pero diferentes el valor puede cambiar mucho):

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$

Puesto que la velocidad instantánea v a su vez es la derivada del vector de posición r respecto al tiempo, se tiene que la aceleración vectorial es la derivada segunda respecto de la variable temporal:

$\mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}$

Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial y normal

Existe una descomposición geométrica útill del vector de aceleración de una partícula, en dos componentes perpendiculares: la aceleración tangencial y la aceleración normal. La primera da cuenta de cuanto varía el módulo del vector velocidad o celeridad. La aceleración normal por el contrario da cuenta de la tasa de cambio de la dirección velocidad:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d}{dt}}(\left\Vert \mathbf {v} \right\|\mathbf {\hat {e}} _{t})={\frac {d\left\Vert \mathbf {v} \right\|}{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{t}+\left\Vert \mathbf {v} \right\|{\frac {d\mathbf {\hat {e}} _{t}}{dt}}=a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+\left\Vert \mathbf {v} \right\|({\boldsymbol {\omega }}\times {\hat {e}}_{t})$

Donde $\mathbf {\hat {e}} _{t}$ es el vector unitario y tangente a la trayectoria del mismo sentido que la velocidad. Usando las fórmulas de geometría diferencial de curvas se llega a que la expresión anterior es igual a:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+{\frac {\left\Vert \mathbf {v} \right\|^{2}}{\rho }}\mathbf {\hat {e}} _{n}=a_{t}\mathbf {\hat {e}} _{t}+a_{n}\mathbf {\hat {e}} _{n}$

Donde a_t es la aceleración tangencial, a_n es la aceleración normal y los vectores que aparecen en la anterior expresión se relacionan con los vectores del Triedro de Frênet-Serret que aparece en la geometría diferencial de curvas del siguiente modo:

$\mathbf {\hat {e}} _{t}$ es el vector unitario tangente a la curva.

$\mathbf {\hat {e}} _{n}$ es el vector normal (unitario) de la curva.

${\boldsymbol {\omega }}$ es el vector velocidad angular que es siempre paralelo al vector binormal de la curva.